本书着者勤积数十余年潜心研究易学的应用心得，首次将《易经》中占卜与数学有关的数理概率作系统性逻辑性和完整性详细说解，在说明方面并多举例子以浅白通俗易懂为原则，将占卜学引导至更高深境界。
　　本书旨在介绍易卦之数学模式。一易卦以a+(2n－a)i表示。a是卦序，(2n－a)是该卦之十进制数，i是虚数单位。a+(2n－a)i称为「卦复数」，是一种较有系统之数学模式以表示一易卦，此数学模式可作有限度之运算。此外本书涉及易卦级数、易卦集合、易卦卦线、易卦矩阵、太极级数和两项定理；另外本书还涉及以「揲蓍挂法」布卦得四种爻﹝指少阴、少阳、老阴及老阳﹞之概率、以「揲蓍不挂法」布卦得四种爻之概率等。本书强调数学中之「概率论」在我国早已有之，只不过不为学者所重视而已。

序

　　研究《易经》可以从多方面入手，例如从哲学、文学、歷史、数学等，现代更从科学的角度去看《易》，令易学的研究更上层楼。在这众多途径中，我们认爲最佳的便是从卜筮和数学入门。
　　「卜筮」往往被现代学者认爲是迷信的行爲而不屑去谈，于是便从哲学、文学方面去研究，显然这方面的局限性很大。局限性大还不打紧，最大问题是出现一些不可解之「谜」，而这些「谜」是不能用哲学或文学等角度法解释的。现举一些不能用哲学或文学去解释问题：
　　一、古圣贤［或云「包羲氏」或「伏羲氏」］爲甚么要画八卦？
　　二、大衍之数爲甚么是五十？爲甚么要用其四十九？
　　三、占卜时爲甚么要「挂一」？可不可以「挂二」？「挂三」？或「挂」其他的数？
　　四、以「揲蓍法」起卦和以「掷钱法」起卦是否一样？
　　上述问题如果不从占卜和数学方面去解释，那就很难说得清楚，从哲学方面去解释，只有越说越玄妙，越说越难懂。事实上，如果用严肃的眼光去看卜筮。对易学的研究相信有一定的帮助。但在这个科学倡明的年代，要人们去相信卜筮，肯定有一定的困难，但如果我们将「研究古人卜筮的方法」和「相信卜筮的结果」分开来看，前者是科学，后者才是迷信，这样，相信反对研究占卜的人会大爲减少。我们应该注意到我国歷朝治《易》的学者大多数懂得卜筮，着名的易学家除孔子、周公外，还有两汉时的京房、郑康成、虞翻，宋之朱熹、邵康节、程灏、范仲淹、王安石、欧阳修，明清时的焦循、黄宗羲、方以智，以及较爲近代的章太炎、尚秉和等，都是擅长以易卦占卜。由此观之，从占卜途径去硏究《易经》，相信是古时学者之不二法门。尙秉和云：『易本用以筮，不嫺筮法，九六之义，即不知其何来，而《繫辞》〈大衍一章〉，尤难索解。春秋传所谓某卦之某卦，亦莫明其故。故学易者，宜先明筮法。』尙氏之言，有一定的道理。有人说「善易者不占」，这句话应解释爲「善易者不过于迷信占卜」，并不是完全不占，更不是不懂占卜。
　　上古圣贤画八卦的目的是爲了卜筮，若果完全否定了这种说法而强加其他解释，相信难以圆满。《繫辞》〈下传〉云：『古者包羲氏之王天下也，仰则观象于天，俯则观法于地，观鸟兽之文与地之宜，近取诸身，远取诸物，于是始作八卦，以通神明之德，以类万物之情。』简单地说一句，八卦是用来「通神明之德」，及「类万物之情」的，当八卦能「通神」及「类万物」后，便可从中占卜未来事之凶吉。现在解答上文的第一条问题：上古圣贤爲占卜未来事之凶吉而画八卦，就是那么简单，如果否定这种说法，那就难以有圆满的解释。至于其他问题的答案在本书第十三至第十八章自有详细的说明。
　　《繫辞》中有多次表明《易》是用作卜筮的，今引述其部分文字〔这些文字中皆有「占」、「凶吉」、「断疑」等字样］以兹佐証：
　　甲、「圣人设卦观象，繫辞焉而明凶吉，刚柔相推而生变化，是故凶吉者，得失之象也；悔吝者，忧虞之象也；变化者，进退之象也；刚柔者，昼夜之象也；六爻之动，三极之道也。』
　　乙、『生生之谓易，成象之谓干，效法之谓坤，极数知来之谓占，通变之谓事，阴阳不测之谓神。』
　　丙、『圣人有以见天下之动而观其会通，以行其典礼，繫辞焉，以断其凶吉。是故谓之爻。』
　　丁、『子曰：「夫易，何爲者也，夫易，开物成务，冒天下之道，如斯而已者也。是故圣人以通天下之志，以定天下之业，以断天下之疑……』
　　戊、「是故易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦，八卦定凶吉，凶吉生大业，是故法象莫大乎天地，变通莫大乎四时，县象着明莫大乎日月，崇高莫大乎富贵，……探赜索隐，钩深致远，定天下之吉凶，成天下之亹亹者，莫大乎蓍龟。』
　　宋朱熹着《周易本义》，全书内容以占筮爲主，书后附有〈筮仪〉，详列筮法及所需之物；宋咸淳［宋度宗年号］乙丑年吴革序《周易本义》云：『象占。易本义也。伏牺画卦，文王槃彖，周公繫爻，皆以象与占决凶吉。』此亦足以証明宋儒视占筮爲《周易》之本旨。
　　由此可见，易和八卦是用来断凶吉是毋庸置疑的。现代人不相信卜筮是一回事，但不能说古人不相信卜筮，我们应该承认，上古时代的统治者和平民百姓的「天命」、「鬼神」等思想在日常生活中佔极重要的地位。大概在商代时有较多的文字纪录卜筮和祭祀的史实，于是便有「殷人尚鬼」之说，其实殷人之「尙鬼」，只是承袭尧、夏遗风而已。
　　我们一般说「卜筮」就是指预测未来之事，其实「卜」和「筮」是不同的，龟曰卜，着曰筮。「卜」是灼龟之腹甲，观其裂纹而断凶吉，其断法早已失传。〈商〉时，卜祭祀用龟甲，卜田猎用胫骨，卜征战用胛骨，这种用龟甲、兽骨的占卜法统称爲「龟卜」。不过，自〈周〉以后，龟卜渐渐式微，自唐以后即不见记载于典籍中。周代设官专责占卜，名曰「卜人」。「卜人」其宝是一个笼统的名称，其上还有「大卜」和「卜师」。据《周礼．春官序官》云：『大卜下大夫二人，卜师上士四人，卜人中士八人。』疏：『大卜有卜师及卜人，皆上官。而卜人无别职者，以其助大卜、卜师行事故也。』由此可知，周时之占卜是由一组士大夫去负责，这亦显示出问卜相当受周室所重视。用蓍草占卦才叫做「筮」［或称爲「占」］。因爲两者都是预测未来之事，所以才并称爲「卜筮」，《尚书．洪范》〔七，稽疑〕云：『择建立卜筮人，乃命卜筮。』于是卜筮便爲占休咎之统称。《尚书．洪范》又云：『立时人作卜筮，三人占，则从二人之言。』其意思是说若有三名官员同时爲某事占卜，若其中两人意见相同，则听从该两人之说法。于此可见爲某事占卜者往往不止一人。〈周〉时除流行卜龟外，亦盛行筮法，《周礼．春官》云：『凡国之大事，先筮而后卜。』可见「卜」和「筮」是相辅相承的。何谓「国之大事」？举例来说：周成王营建洛邑，派遣召公主持其事，又派周公前往视察和占卜，《尚书．洛诰》云：『周公拜手稽首，曰：「……我卜河朔黎水。我乃卜涧水东、瀍水西，惟洛食。我又卜瀍水东，亦惟洛食。伻来，以图及献卜。」』其意谓周公只在洛水附近卜得吉兆，其他地方没有，于是便派遣使者，向成王献上洛水流域图和龟卜［《史记》《周本纪》和《鲁周公世家》有类似记载］。这是一个颇爲典型的例子。
　　龟卜其实是一门颇爲专门和深奥的学问，有严格的要求和限制，《周礼》有《大卜》、《卜师》、《龟人》和《占人》诸篇，都是介绍占卜术的。其中《春官．卜师》云：『凡卜，辨龟之上下左右阴阳，以授命龟者。』至于怎样去分辨「龟之上下左右阴阳」，相信不是现在的人所能了解的。谈了龟卜，不能不谈一点有关龟之种类的资料。同书同章又云：『龟人掌六龟之属，各有名物。天龟曰灵属，地龟曰绎属，东龟曰果属，西龟曰雷属，南龟曰猎属，北龟曰若属。各以其方之色，与其体，辨之。』这里所谓「六龟之属」，和《尔雅》中所说的「六龟」差不多，《尔雅》（卷十．释鱼》篇有关「龟」之部份云：『龟，俯者灵，仰者谢，前弇诸果，后弇诸猎，左倪不类，右倪不若。』简单地说，龟可分爲「灵龟」、「谢龟」、「果龟」、「猎龟」、「类龟」和「若龟」六种；根据晋郭璞注：行时头低的叫灵龟，头仰的叫谢龟，甲前长的叫果龟，甲后长的叫猎龟，行时头偏向左下方（头偏左而视）的叫类龟，行时头偏向右下方（头偏右而视）的叫若龟（《尔雅》原文中之「不」字无义），这是以龟的行走时姿态及甲之前后长短作区分。若《周礼》《春官．卜师》所说之「六龟」与《尔雅》所说之「六龟」相同，则灵龟即天龟；谢龟即绎龟，亦即是地龟；果龟也叫东龟，猎龟也叫南龟，类龟也叫西龟，若龟也叫北龟。
　　《尔雅》同章又以龟之特徵及所居住之处作区分，共分成十类：一曰神龟、二曰灵龟、三曰摄龟、四曰宝龟、五曰文龟、六曰筮龟、七曰山龟、八曰泽龟、九曰水龟、十曰火龟。据郭璞注：最神明之龟曰神龟：涪陵郡（三国时蜀置，治涪陵县，故城在今四川省彭水县）出产之大龟曰灵龟，其甲可用作占卜；一种喜欢吃蛇的小龟名叫摄龟，江东称之爲「陵龟」；郭璞没有解释甚么叫「宝龟」，大概是指极长寿和珍贵之龟（价值十朋）；甲有文彩者曰文龟，其甲红色，其文青色，所谓「丹甲青文」是也。相传负「河图」出水的灵龟就是「交龟」，郭璞言下之意文龟其实是灵龟的一种。常在蓍草下潜伏的龟叫做筮龟。
　　至于山龟、泽龟、水龟和火龟是指在山、泽、水、火中生长的龟；前三种龟的生长地可以理解，问题的是「火龟」，在现实的世界里根本没有龟是生活在火中的，郭璞注曰：『火龟，犹火鼠耳。』郭璞《山海经》注曾提及有「火山国」产「火龟」，人捕得之，以毛作布，名之「火浣布」。据说「火浣布」能防火。郭璞大槪知道将火龟解释为火鼠是牵强的，于是进一步注曰：『物有含异气者，不可以常理推，然亦无所怪。』「火龟」固然没有，相信「火鼠」也没有。古人名物，往往为求对称整齐，没有的也要捏造出来，有山龟，便有泽龟，有水龟而没有火龟的话，水龟仙少了个匹配，在想当然的情况下，古人便捏造一种「火龟」出来。前人捏造容易，后世注释困难，博学者姏郭璞，亦只能找出一种近似火龟的火鼠来解释，龟与鼠显然不同，郭璞只好说「不可以常理推」来替捏造者辩护。《尔雅》虽然提及多种龟，其实不论甚么龟也好，只要是长寿的，珍贵的，都可以称爲「神龟」或「宝龟」，其甲都可用作占卜。
　　「卜」之所以失传，大概有下列三个理由：
　　一、没有那么多的龟甲可用［包括兽类之肩胛骨及胫骨］；
　　二、灼龟甲相信需要一定的火力、工具和技巧；
　　三、从龟甲之裂纹断凶吉较困难，所预测之事范围较狭。
　　〈商〉和〈周〉时相信只有朝廷、诸侯、贵族才可进行龟卜，寻常百姓家，根本无法得到所需的材料。大槪由于龟甲缺乏，古人曾经有人改用瓦，称爲「瓦卜」，显然，瓦片除了较易取得外，相信其困难程度不下于龟卜。既然实行灼龟有困难，其断法逐渐失传那就不足爲奇了。筮法所採用的工具——蓍草，显然较龟甲易取得，寻常百姓也可取蓍草作卜筮用。而且筮法中的揲蓍法比「灼龟」容易进行得多，另一方面，我们相信用八卦断凶吉比从龟的裂纹而断凶吉来得简单。于是揲蓍布卦成卜筮主流。「蓍」到底不耐用，于是改用竹制，其长与蓍相若，尺余，可称之爲「策」或「籤」［同「签」］。
　　朱熹在《周易本义》中所谈及的「筮仪」就是揲蓍布卦法。揲蓍布卦法涉及数学中之概率问题，本书自有详述。揲蓍布卦可分成「卦法」和「不卦法」，这两种方法差异不大，不过成卦的概率则大有分别。
　　揲蓍布卦法手续和步骤都很繁琐，人们于是便发明掷钱布卦，此法比揲蓍法省时和快捷。当然两者成卦的概率亦有很大的分别。人们爲甚么会发明掷钱布卦？原来古人揲蓍时，以钱之背面记揲蓍后得余数之少数，以「字」记揲蓍后得余数之多数［见本书第十四、十五章］。其后揲蓍者渐趋懒惰，不再揲蓍，只凭钱之背或字定爻，但怎样去决定钱之背或字？最快和最简单的方法莫过于将三枚铜钱同时抛起，让其自由落下，观其字或背之向上而定一爻。这种掷钱布卦法又称爲「文王课」，唐以后「文王课」已成占卜者之主要布卦法。唐人诗有云：『众中不敢分明语，暗掷金钱卜远人』，可见「文王课」之流行。清康熙、雍正年间「樵云山人」编《飞花艷想》艷情小说，第十五回〈掷金钱喜卜归期〉中有诗曰：『几向鸿鳞占信候，金钱掷破叹归迟』，清嘉庆陈球着《燕山外史》——一部以俪体文写成之小说，其中有句云：『宝篆薰残，默默暗祈奚事；金钱掷遍，喁喁细卜何辞』；（见该书卷二），可想而知清甚盛行以金钱问卜，当然小说与正史有别，但此等内容足以反映当时社会之一般风气。近世更发明「掷骰法」布卦，此法之方便和简单可媲美掷钱布卦。
　　虽然我们主张从卜筮、筮法等方面入手硏究《易》，但本书不是教人占卜，而是谈及《易经》中占卜与数学有关的题目，例如得动爻的概率、用不同方法布卦得卦之概率——主要是「揲蓍」［分「卦法」和「不卦法」两种］和「掷钱」布卦得卦的概率，较爲次要的是「掷骰法」［分爲「掷正四面体」和「掷正六面体」］。此外，还涉及「太极级数」、二进制数、卦序、卦的分类、「卦复数」、卦复数的「阳变」和「阴变」、卦线、正交卦线、扩张点、收缩点、卦之因子式等数学问题，相信这些对广大的读者来说都是陌生的。
　　研究《易经》的数学最重要的是系统性、逻辑性和完整性，本书已尽量达到这些要求。爲了令本书通俗易懂，我们尽量避免用太多的数学符号，在说明方面。我们多举例子，以浅白易懂爲原则；读者只要对数学中之概率论、排列组合、矩阵乘法有初步认识即可，我们以此书爲「砖」，「砖」抛出后，希望引出「玉」来，故本书的最终目的，就是得能到各方高明的赐教和对易学中的数学作进一步的探索。
　　最后，本书多蒙术数大师曹展硕先生鼎力支持，香港中国哲学文化出版社出版，谨此致谢。

作者谨识
一九九九年三月

目录

第一章　河图和洛书
　第一节　洛书的来由
　第二节　河图的来由
　第三节　河图数的五行相剋相生
第二章　天数、地数和大衍之数
　第一节　天地级数和河图之数
　第二节　大衍之数的来由
　第三节　大衍之数的来由其他说法及「洛书句股图」
第三章　太极级数和两项定理
　第一节　太极级数
　第二节　两项定理
第四章　八卦和二进制数学
　第一节　两仪、四象和八卦之伏羲卦序
　第二节　四爻卦之伏羲卦序及互卦
　第三节　五爻卦之伏羲卦序、互卦及分类
　第四节　六十四卦之伏羲卦序及分类
　第五节　各宫八卦、变爻卦及不综卦之十进制数之关系
第五章　易卦级数
　第一节　阳仪和四象级数
　第二节　八纯卦级数
　第三节　四爻卦级数之通项
　第四节　五爻卦级数之通项
　第五节　六十四卦级数之通项
　第六节　七爻或以上之卦级数之通项
第六章　易卦集、易卦矩阵和2n易卦方阵
　第一节　易卦集
　第二节　易卦矩阵
　第三节　化易卦为十进制数之矩阵表示法
　第三节　n×n方阵和2n易卦方阵
第七章　易卦与复数
　第一节　易卦之复数表示法
　第二节　卦复数之阳变及阴变
　第三节　易卦之卦复数之运算法
　第四节　四爻卦之卦复数
　第五节　五爻卦之卦复数
　第六节　六十四卦之卦复数
　第七节　卦复数之因子式
　第八节　逆阳变和逆阴变
　第九节　卦复数的性质和位置
第八章　易卦复数与几何
　第一节　纯阳变、次纯阳变和纯阴变之图象表示法
　第二节　以路径法求一卦之卦复数
　第三节　阳变和阴变之图象表示法
　第四节　逆阳变和逆阴变之图象表示法
　第五节　卦复数的运算问题
　第六节　分解一卦复数为「基本卦复数」
第九章　正交卦线与几何
　第一节　正交卦线和有关辞汇
　第二节　正交卦线始点序列
　第三节　正交卦线点序列与卦之特色
　第四节　正交卦线之长
第十章　扩张点和收缩点
　第一节　扩张点和扩张卦
　第二节　收缩点和收缩卦
　第三节　非整数收缩卦、分数卦、小数卦和虚卦
第十一章　阴阳级数和阴阳合併数﹝復数﹞
　第一节　阴级数、阳级数、復数
　第二节　阳卦、阴卦之卦复数及卦序级数
　第三节　六十四卦中之阳卦、阴卦之卦复数及卦序级数
第十二章　阴消阳息级数
　第一节　十二辟卦
　第二节　六爻错卦和数和消息和数
　第三节　论凶月
第十三章　揲着布卦与掷钱布卦
　第一节　「揲蓍法」布卦四种爻之概率
　第二节　各「变」余数固定的原理
　第三节　「不挂」之布卦法
第十四章　掷钱布卦与概率
　第一节　掷钱布卦的概率
　第二节　掷钱布卦与揲蓍布卦的差异
　第三节　以掷钱布卦法布得各卦的概率
　第四节　掷正六面体布卦法
第十五章　揲蓍布卦﹝挂法﹞与概率
　第一节　揲蓍﹝挂法﹞布卦的概率
　第二节　揲蓍挂法布卦的概率题举例
　第三节　揲蓍布卦是否随机的问题
第十六章　揲蓍布卦﹝不挂法﹞与概率
　第一节　揲蓍﹝不挂法﹞布卦的概率
　第二节　揲蓍不挂法布卦的概率题举例
　第三节　简易揲蓍法布卦
　第四节　「筮仪」释
第十七章　大衍之数五十和四十九的问题
　第一节　大衍之数只用其四十九的原因
　第二节　以其他籤数布卦的结果
第十八章　掷正四面体布卦与概率
　第一节　掷正四面体布卦的概率
　第二节　和揲蓍、掷钱、掷正六面体和掷正四面体布卦等价的抽籤布卦法
第十九章　动爻数的概率
　第一节　动爻数
　第二节　布卦得动爻之概率
　第三节　以揲蓍不卦法得动爻之概率
　第四节　以掷正四面体法布卦得动爻之概率
　第五节　论无动爻之布卦概率
第二十章　数目与八卦
　第一节　以八卦表示一数目
　第二节　卦线上的整数问题
　第三节　易卦卦序求法
　第四节　知卦序而求卦法
　第五节　浅谈六十四卦之重卦
第二十一章　卦变图与数学
　第一节　復、姤之变卦与太极级数
　第二节　易图之变卦、错卦与太极级数
第二十二章　六十四卦及其互卦
　第一节　六十四卦之互卦
　第二节　十六卦之互卦
第二十三章　数学期望值和方差
　第一节　数学期望值
　第二节　方差
跋

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